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  • Différentielle d'ordre supérieur

    Formulaire de report


    Définition

    Définition :
    Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés et \(U\) un ouvert de \(E\)
    On dit que \(f:U\to F\) est \(k\) fois différentiable en \(a\in E\) si \(f\) est différentiable sur un voisinage de \(a\) et si \(df\) est \(k-1\) fois différentiable en \(a\) (définition par récurrence)
    On définit ainsi des différentielles d'ordre \(k\) que l'on associe à des applications \(k\)-linéaires : $$d^kf(a)\in\mathcal L_{k,c}(E^k,F)$$

    (Différentiabilité, Différentielle seconde)
    \(\longrightarrow\) Classe de fonctions \(\longrightarrow\) Difféomorphisme

    Propriétés


    Cas d'une fonction multi-linéaire

    Proposition :
    Si \(f\) est \(p\)-linéaire, alors \(d^kf=0\) pour tout \(k\gt p\)


    Règle de la chaîne

    Proposition :
    Si \(f\) est \(k\) fois différentiable en \(a\) et \(g\) est \(k\) fois différentiable en \(f(a)\), alors \(g\circ f\) est \(k\) fois différentiable en \(a\)

    Démonstration en exercice

    Caractérisation des \(\mathcal C^k\)-difféomorphisme

    Lemme :
    Soient \(E,F\) des espaces de Banach
    L'ensemble \(\operatorname{Isom}(E,F)\) des applications linéaires continues bijectives de \(E\) vers \(F\) est un ouvert de \(\mathcal L_C(E,F)\)
    De plus, l'application \(\theta:\begin{align}\operatorname{Isom}(E,F)&\longrightarrow\operatorname{Isom}(E,F)\\ U&\longmapsto U^{-1}\end{align}\) est de classe \(\mathcal C^\infty\)

    (SCIENCES/🔢 Mathématiques/L3 ENS/S1/Calcul différentiel/Vrac/Espace de Banach)


  • Rétroliens :
    • Théorème de Schwarz
    • Théorème de Taylor-Young